bonsoir !!! pouvez vous m'aider à faire le DM de mathématique ! merci

bonsoir noureddine
partie A
d'après la figure 1
on peut calculer le volume total
on sait que volume cylindre = π R² × h
R = 10
hauteur = d
V total = 20² × π × d = 400 π d

1) le volume V1
= R² × π × h
= 20² × π ×10
= 4000π
2) le volume V2 de la bille
on sait que volume de la sphère = 4/3×π×R³
le rayon de la bille = d/2
V2 = 4/3  × π × (d/2)³
V2 =  π × 4d³ /8×3
=  π d³ /6

donc on peut écrire le volume total V1+V2
= 4000π + π d³ /6

on a vu que le volume total pouvait aussi s'écrire 400 π d
donc on a l'équation
400 π d = 4000π + π d³ /6

si on réduit au m^me dénominateur  on a :
400 π d × 6/6  = 4000π×6/6 + π d³ /6
= (2400πd)  /6 = (24000π+πd³ ) /6
=> 2400πd = 24000π+πd³  =>
 2400πd = 24000π+πd³  
on passe tout du même côté
24000π+πd³  -  2400πd =0
π ( 24000+d³ - 2400d)= 0
π est ≠ de 0
donc on a  24000+ d³ - 2400 d = 0 
le diamètre de la boule ne peut pas être supérieur au diamètre du récipient
( car il ne pourrait pas la contenir)
diamètre récipient  =2 × 20 = 40
d est une mesure donc elle est positive
donc 0 ≤ d ≤ 40
et 
 d³ - 2400 d + 24000  = 0    ( démontré au-dessus)

partie B
1) dérivée de f(x)
 f' (x) = 3x² -2400
signe de la dérivée
delta = b²-4ac
Δ=28800
√Δ =120√2
x1 = -b-√Δ/2a
= - 0 -120√2 /2×3 =
= -20√2
x2 = -b+√Δ/2a
= 20√2

-20√2 et 20√2  sont les racines de la dérivée dans R

2) voir tableau en fichier joint
signe de f'(x) 
négatif entre les racines ( théorème du signe du polynôme)
f ' (x) ≥ 0   =>  x  € ] ∞; -20√2 ]U [ 20√2;+∞[
f' (x) ≤  0 =>  x € [ 20√2 ; 20√2 ]

3) à la calculatrice
20√2≈ 28,3
f (20√2) ≈  - 21254,8

4) l'équation f(x) = 0 
=>  x³ - 2400 x + 24000 = 0 
f(x)   a  3  solutions   sur R
car la courbe de f  coupe 3 fois l'axe des abscisses

5) sur l'intervalle [0;40]
a)
f(0) = x³ - 2400 x + 24000 
 = 0³-2400×0 +24000 = 24000

f(40) = 40³-2400×40 +24000= - 8000

b) voir tableau de variations en fichier joint 

c)
 f(x) = 0    a  1 seule solution sur l'intervalle [0;40]
car  la courbe de f  traverse 1 seule fois l'axe des abscisses

partie C
a) graph à la calculatrice
b) encadrement

 10 < d <  11

la partie D 
est un encadrement plus précis de d