Bonsoir tout le monde !!! J'ai absolument besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plait !! Merci d'avance beaucoup ! (Le détail des calculs est demandé)

Bonjour Elisabeth28,

[tex]f(x)=2e^x+ax+b[/tex]

1) La courbe C passe par l'origine O ==> f(0) = 0

[tex]2e^0+a\times0+b=0\\\\2\times1+0+b=0[/tex]

[tex]2+b=0\\\\\boxed{b = -2}[/tex]

La tangente à la courbe C en O a pour coefficient directeur 3 ==> [tex]f'(0)=3[/tex]

Or 

[tex]f(x)=2e^x+ax+b\Longrightarrow f'(x)=2e^x+a\\\\f'(0)=3\Longleftrightarrow 2e^0+a=3[/tex]

[tex]2\times1+a=3\\\\2+a=3\\\\\boxed{a=1}[/tex]

Par conséquent,

[tex]\boxed{f(x)=2e^x+x-2}[/tex]

2) [tex]f(x)=2e^x+x-2\Longrightarrow f'(x)=2e^x+1[/tex]

Or 

[tex]e^x\ \textgreater \ 0\Longrightarrow 2e^x\ \textgreater \ 0\\\\\Longrightarrow 2e^x+1\ \textgreater \ 1\ \textgreater \ 0[/tex]

D'où f'(x) > 0

Par conséquent, f est strictement croissante sur [-1 ; 1]

3) Courbe C en pièce jointe.