Bonsoir tout le monde, besoin d'aide pour cet exercice, s'il vous plait... Merci

Bonjour emiliedemaison

Partie A.

[tex]g(x)=e^x+x+1[/tex]

1) [tex]g'(x)=e^x+1[/tex]

g’(x) > 0 ==> la fonction g est strictement croissante sur R.

[tex]\lim\limits_{x\to+\infty} g(x)=+\infty+\infty+1[/tex]
[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} g(x)=+\infty}[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to-\infty} g(x)=0+(-\infty)+1[/tex]
[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty} g(x)=-\infty}[/tex]

D’où le tableau des variations de la fonction g :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&&&+\infty \\ g(x)&-\infty&&\nearrow&&+\infty\\ \end{array}[/tex]

2) La fonction g est strictement croissante sur R.

g(-2)≈-0,86<0 et g(-1)≈0,37 ==> la courbe représentative de la fonction g coupe l'axe des abscisses en un point dont l'abscisse [tex]\alpha[/tex] est solution de g(x)=0.

En utilisant le menu TABLE de la calculatrice, nous avons :
g(-1,28)≈-0,002<0 et g(-1,27)≈0,01>0

Donc [tex]-1,28<\alpha<-1,27[/tex]

3) Signe de g(x)

[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&\alpha&&+\infty \\ g(x)&&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]

Partie B

[tex]f(x)=\dfrac{xe^x}{e^x+1}[/tex]

[tex]1)\ f'(x)=\dfrac{(xe^x)'(e^x+1)-xe^x(e^x+1)'}{(e^x+1)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{[x'e^x+x(e^x)'](e^x+1)-xe^x\times e^x}{(e^x+1)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{[1\times e^x+x\times e^x](e^x+1)-xe^{2x}}{(e^x+1)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{(e^x+xe^x)(e^x+1)-xe^{2x}}{(e^x+1)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{e^x(e^x+1)+xe^x(e^x+1)-xe^{2x}}{(e^x+1)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{e^{2x}+e^x+xe^{2x}+xe^x-xe^{2x}}{(e^x+1)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{e^{2x}+e^x+xe^x}{(e^x+1)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{e^x(e^{x}+1+x)}{(e^x+1)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{e^xg(x)}{(e^x+1)^2}[/tex]

Puisque e^x>0 et (e^x+1)²>0, le signe de la dérivée f ‘(x) est le même que celui de g(x).

Donc
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&\alpha\approx-1,28&&+\infty \\ f'(x)&&-&0&+&\\f(x)&&\searrow&f(\alpha)&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]

f est décroissante sur ]-oo ;-1,28]
f est croissante sur [-1,28 ; +oo[

[tex]f(\alpha)=\dfrac{\alpha e^\alpha}{e^\alpha+1}[/tex]

Or [tex]g(\alpha)=0\Longleftrightarrow e^\alpha+\alpha+1=0[/tex]

[tex]\Longleftrightarrow e^\alpha=-(\alpha+1)\ \ et\ \ e^\alpha+1=-\alpha[/tex]

D’où
[tex]f(\alpha)=\dfrac{\alpha\times[-(\alpha+1)]}{-\alpha}[/tex]

[tex]f(\alpha)=\dfrac{-\alpha(\alpha+1)}{-\alpha}[/tex]

[tex]\boxed{ f(\alpha)=\alpha+1}[/tex]

Par conséquent,
[tex]-0,28<f(\alpha)<-0,27[/tex]

3)a) Une équation de la tangente T est de la forme : y = f’(0)(x-0)+f(0)

Or f(0) = 0
f ‘(0) = 1/2

Par conséquent, une équation de la tangente T est : [tex]\boxed{y=\dfrac{x}{2}}[/tex]

b) Position relative de T et de C.

[tex]f(x)-\dfrac{x}{2}=\dfrac{xe^x}{e^x+1}-\dfrac{x}{2}[/tex]

[tex]f(x)-\dfrac{x}{2}=\dfrac{2xe^x-x(e^x+1)}{e^x+1}[/tex]

[tex]f(x)-\dfrac{x}{2}=\dfrac{2xe^x-xe^x-x}{e^x+1}[/tex]

[tex]f(x)-\dfrac{x}{2}=\dfrac{xe^x-x}{e^x+1}[/tex]

[tex]f(x)-\dfrac{x}{2}=\dfrac{x(e^x-1)}{e^x+1}>0\ pour\ tout\ x[/tex]

Par conséquent, la courbe C est au-dessus de la tangente T pour toute valeur de x.

4) [tex]\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x=0[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to-\infty}(e^x+1)=1[/tex]

d’où  [tex]\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0[/tex]

La fonction f admet donc une asymptote horizontale en –oo d’équation y = 0.

5) a) [tex]\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{xe^x}{e^x}=\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty[/tex]

b) Tableau de variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&\alpha\approx-1,28&&+\infty \\ f(x)&0&\searrow&-0,28&\nearrow&+\infty\\ \end{array}[/tex]

c) Graphique en pièce jointe.