On se propose de resoudre dans z ^2 l'equation (E) :34x-15y=2.1)Resoudre dans z ^2 l'equation (E)':34x-15y=0.2)Determiner une solution (x0,y0)de l'equation (E).

il s'agit d'une équation Diophantienne :
(E) : 34x-15y=2

Recherche d'une solution particulière de (E) :
on pose (xo;yo)=(8;18)
alors 34xo-15yo=34*8-15*18==2
donc (xo;yo)=(8;18) est solution de (E)

Recherche des solutions générales de (E) :
soit (x;y) une solution de E donc 34x-15y=2
or 34xo-15yo=34x-15y
donc 34(xo-x)=15(yo-y)
or pgcd(34,15)=1
donc 34 et 15 sont premiers entre eux
d'après le th de GAUSS, 34 divise yo-y et 15 divise xo-x
donc il existe 2 entiers k et k' tels que :
yo-y=34k' et xo-x=15k
donc y=yo-34k' et x=xo-15k
donc x=8-15k et y=18-34k'
par ailleurs (x;y) vérifie (E)
donc 34(8-15k)-15(18-34k')=2
donc 34*8-15*18+34*15*(k-k')=2
donc 34*15(k-k')=0
donc k=k'
donc (x;y)=(8-15k;18-34k) avec k∈Z