une cheminée est représentée par le rectangle abcd dont les côtés mesurent 2m et 1m. l'intérieur de la cheminée est représenté par le rectangle efgh. la partie

Bonjour Lyli1 

Figure en pièce jointe.

Quelle doit être la largeur du bandeau pour qu'il en soit ainsi ?

On note x la largeur du bandeau en mètres.
Puisque x ne peut pas être supérieur à la largeur de la cheminée, nous avons : [tex]0\le x\le 1[/tex]

Les dimensions du rectangle EFGH sont 2-2x et 1-x.

L'aire du rectangle EFGH = (2-2x)(1-x).

L'aire du rectangle EFGH doit être supérieure à 0,5 m².

Donc nous devons résoudre l'inéquation :  [tex](2-2x)(1-x)\ge0,5[/tex]

[tex]2-2x-2x+2x^2\ge0,5\\2x^2-4x+2\ge0,5\\2x^2-4x+1,5\ge0[/tex]
[tex]2x^2-3x-x+1,5\ge0\\2x(x-1,5)-(x-1,5)\ge0\\2x(x-1,5)-1(x-1,5)\ge0\\(x-1,5)(2x-1)\ge0[/tex]

Tableau de signes : 
racines : x - 1,5 = 0 ==> x = 1,5
              2x - 1 = 0 ==> x = 1/2 = 0,5

[tex]\begin{array}{|c|cccccccc|} x&0&&-0,5&&1&&1,5& \\ x-1,5&&-&-&-&-&-&0&+\\ 2x-1&&-&0&+&+&+&+&+\\ (x-1,5)(2x-1)&&+&0&-&-&-&0&+\\\end{array}[/tex]

Or  [tex]0\le x\le 1[/tex]

Donc, dans l'intervalle [0 ; 1], l'inéquation [tex](x-1,5)(2x-1)\ge0[/tex] est vérifiée pour x € [0 ; 0,5].

Par conséquent, 

toutes les largeurs possibles du bandeau pour que le Père Noel puisse passer par la cheminée sont comprises entre 0 m et 0,5 m.

La largeur maximale du bandeau sera alors égale à 0,5 m.

Quelles sont alors les dimensions du rectangle EFGH ?

si x = 0,5, alors 
2 - 2x = 2 - 2*0,5 = 2 - 1 = 1
1 - 0,5 = 0,5.

Par conséquent, 
les dimensions du rectangle seront alors 0,5 m pour la largeur et 1 m pour la longueur.