Bonjour qui peut m'expliquer cette phrase . Je l'ai lue sur le page d'un cours de maths sur l'étude des fonctions On n'oublie pas qu'on ne sait pas étudier le s

Cela veut dire que so ton objectif est de connaître le signe d'une expression (dérivée) ou autre ; cette espression doit être mise sous la forme d'un produit de facteurs  ou d'un quotient de facteurs dont on, connaît les signes

ainsi
si a est  positif et   b négatif     ab  sera  négatif et  a/b   également
mais  on ne saura pas quel  est le signe de  a +b 
de même
si a et  b sont positifs    ab  et a/b  seront  positifs   mais on ne saura pas dire si a - b est positif ou négatif

dans l'exemple 
si  x est supérieur  à  1/2    il est évident que   4x + V(4x² -1)   est   positif 

maintenant  si x est inférieur  à  -1/2  

4x  est négatif  et   V(4x² -1)   positif   ; on ne sait pas dire quel est le signe de f '(x) 

c'est  pourquoi on modifie cette expression  ( c'est une technique) 

en écrivant   f'(x)=  ( 4x + V4x²-1) ( 4x - V4x²-1) / ( 4x - V4x²-1)
ce qui évidemment ne change pas le résultat  mais la forme est un quotient 

f'(x)=(16x² - (4x²-1)) / ( 4x - V4x²-1) )=(12x² +1) / ( 4x - V4x²-1)

dans ce quotient  a/b    a=12x² +1  est positif

si x < -1/2    b = 4x - V4x²-1    négatif 

f'(x) <0