Divisibilité et congruence Bonjour, Dans mon exercice je dois démontrer en utilisant les congruences et un raisonnement par disjonction des cas : que si n désig
Mathématiques
gouronclemence
Question
Divisibilité et congruence
Bonjour,
Dans mon exercice je dois démontrer en utilisant les congruences et un raisonnement par disjonction des cas : que si n désigne un entier naturel alors n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.
j'ai commencé par dire que n est pair donc n est un multiple de 6 tel que n=6k
j'ai commencé avec n= 6k est je trouve 432k^{3} + 108k² +6k
ensuite avec n+1 = 6k+1 est je trouve 6k(72k²+54k+13k +6
sauf que je ne vois pas le rapport avec les congruence et je ne sais pas où je dois m'arrêté pour la disjonction des cas.
J'espere qu'on pourra m'aider s'il vous plaît.
Cordialement, Clémence
Bonjour,
Dans mon exercice je dois démontrer en utilisant les congruences et un raisonnement par disjonction des cas : que si n désigne un entier naturel alors n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.
j'ai commencé par dire que n est pair donc n est un multiple de 6 tel que n=6k
j'ai commencé avec n= 6k est je trouve 432k^{3} + 108k² +6k
ensuite avec n+1 = 6k+1 est je trouve 6k(72k²+54k+13k +6
sauf que je ne vois pas le rapport avec les congruence et je ne sais pas où je dois m'arrêté pour la disjonction des cas.
J'espere qu'on pourra m'aider s'il vous plaît.
Cordialement, Clémence
1 Réponse
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1. Réponse laurance
si n≡ 0 [6 ] alors n(n+1)(2n+1) est divisible par 6
si n ≡ 1 [6] alors n+1 ≡ 2 [6] et 2n+1 ≡ 3 [6] d'où
(n+1)(2n+1) ≡0 [6] n(n+1)(2n+1) est divisible par 6
si n≡2 [6] n+1≡3 [6] et n(n+1) ≡0 [6] n(n+1)(2n+1) est divisible par 6
si n≡3 [6] alors n+1 ≡4 [6] et n(n+1) ≡0 [6] :
n(n+1)(2n+1) est divisible par 6
si n≡4 [6] alors 2n+1≡0 [9] donc 2n+1 ≡0 [3] et n(2n+1)≡0 [6]
n(n+1)(2n+1) est divisible par 6
si n≡5 [6] alors n+1≡0 [6]
n(n+1)(2n+1) est divisible par 6