Besoin d'aide absolument !!! Merci à celui ou celle qui m'aidera ! PS: Faut détailler les calculs et tout !

Bonjour Raphdu18

Partie A

[tex]g(x)=1-e^{2x}-2xe^{2x}[/tex]

1) [tex]\lim\limits_{x\to+\infty} g(x)=?[/tex]

On sait que [tex]\lim\limits_{x\to+\infty} e^{2x}=+\infty\ \ et\ \ \lim\limits_{x\to+\infty} 2xe^{2x}=+\infty[/tex]

D'où

[tex]\lim\limits_{x\to+\infty} g(x)=1-\infty-\infty[/tex]

[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} g(x)=-\infty}[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to-\infty} g(x)=?[/tex]

Soit X = 2x

[tex]\lim\limits_{x\to-\infty} e^{2x}=\lim\limits_{X\to-\infty} e^{X}=0\ \ et\ \ \lim\limits_{x\to-\infty} 2xe^{2x}=\lim\limits_{X\to-\infty} Xe^{X}=0[/tex]

D'où

[tex]\lim\limits_{x\to-\infty} g(x)=1-0-0[/tex]

[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty} g(x)=1}[/tex]

2) Tableau de variation de g sur R.

[tex]g(x)=1-e^{2x}-2xe^{2x}\\\\g'(x)=1'-(e^{2x})'-(2xe^{2x})'[/tex]

[tex]g'(x)=0-2e^{2x}-[(2x)'\times e^{2x}+2x\times (e^{2x})'][/tex]

[tex]g'(x)=-2e^{2x}-[2\times e^{2x}+2x\times 2e^{2x}][/tex]

[tex]g'(x)=-2e^{2x}-2e^{2x}-4xe^{2x}[/tex]

[tex]g'(x)=-4e^{2x}-4xe^{2x}[/tex]

[tex]g'(x)=-4e^{2x}(1+x)[/tex]

Racine de g'(x) : 
[tex]e^{2x}=0\ \ (impossible\ car\ e^{2x}\ \textgreater \ 0)\ \Longrightarrow pas\ de\ racine\\1+x=0\Longrightarrow x=-1[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccc||}x&-\infty&&-1&&+\infty\\ -4&&-&-&-&\\e^{2x}&&+&+&+&\\x+1&&-&0&+&\\g'(x)&&+&0&-&\\g(x)&1&\nearrow&1+e^{-2}\approx1,1&\searrow&-\infty\\\end{array}[/tex]

3) g(0) = 0.

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&-1&&0&&+\infty\\ g(x)&1&\nearrow&\approx1,1&\searrow&0&\searrow&-\infty\\\end{array}[/tex]

Selon le tableau de variation de g, on peut déduire que 
si x < 0, alors g(x) > 0
si x > 0, alors g(x) < 0

Partie B

[tex]f(x)=x+3-xe^{2x}[/tex]

a) Limites de f en +oo et -oo.

[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x(1+\dfrac{3}{x}-e^{2x})=+\infty\times(1+0-\infty)\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x(1+\dfrac{3}{x}-e^{2x})=-\infty\times(1+0-0)\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}[/tex]

2) Sens de variation de f.

[tex]f(x)=x+3-xe^{2x}\\\\f'(x)=x'+3'-(xe^{2x})'[/tex]

[tex]f'(x)=1+0-[x'\times e^{2x}+x\times(e^{2x})'])\\\\f'(x)=1-[1\times e^{2x}+x\times(2e^{2x})][/tex]

[tex]\boxed{f'(x)=1-e^{2x}-2xe^{2x}}[/tex]

Nous remarquons que f '(x) = g(x).
Donc f '(x) a le même signe que celui de g(x).

si x < 0, alors f '(x) > 0 ==> f est croissante
si x > 0, alors f '(x) < 0 ==> f est décroissante

f admet alors un maximum en 0.
Ce maximum est égal à f(0) = 3.

3) f est décroissante sur [0;+oo[
[tex]f(0)=3\ \ et\ \ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=-\infty[/tex]

D'où il existe une seule valeur [tex]\alpha\in[0;+\infty[\ telle\ que\ f(\alpha)=0[/tex]

Par conséquent, la courbe C coupe l'axe des abscisses en un seul point I dont l'abscisse est [tex]\alpha[/tex]

[tex]f(0)=3\ \textgreater \ 0\ et\ f(1)\approx-3,4\ \textless \ 0\Longrightarrow \alpha\in\ ]0;1[\\\\f(0.7)\approx0,86\ \textgreater \ 0\ et\ f(0,8)\approx-0,16\ \textless \ 0\Longrightarrow \alpha\in\ ]0,7\ ;\ 0,8[[/tex]

Donc l'abscisse du point I est environ égale à 0,8 (à 0,1 près)

4) Représentation de la courbe C en pièce jointe.