Bonjour je n'arrive pas à trouver sur cette question on me demande d'étudier la fonction f(x)= x + √(|4x²- 1 |) moi je l'ai résolu comme tel : Sur ]-∞;1/2[ U [1

f(x)=x+√|4x²-1|

1er cas : si x<-1/2
alors 4x²-1>0 donc f(x)=x+√(4x²-1)
donc f'(x)=1+(8x)/(2√(4x²-1))=1+4x/√(4x²-1)
soit f'(x)=(√(4x²-1)+4x)/√(4x²-1)
             =(√(4x²-1)+4x)(√(4x²-1)-4x)/((√(4x²-1)-4x)√(4x²-1))
             =(4x²-1-16x²)/((√(4x²-1)-4x)√(4x²-1))
             =(-1-12x²)/((√(4x²-1)-4x)√(4x²-1))
-1-12x²<0 et (√(4x²-1)-4x)>0 si x<-1/2
ainsi f'(x)<0 si x<1/2
donc f est strict décroissante sur ]-∞;-1/2[

2ème cas : si -1/2<x<1/2
alors 4x²-1<0 donc f(x)=x+√(1-4x²)
donc f'(x)=1+(-8x)/(2√(-4x²+1))=1-4x/√(-4x²+1)
soit f'(x)=(√(1-4x²)-4x)/√(1-4x²)
             =(√(1-4x²)-4x)(√(1-4x²)+4x)/((√(1-4x²)+4x)√(1-4x²)
             =(1-4x²-16x²)/((√(1-4x²)+4x)√(1-4x²)
             =(1-20x²)/((√(1-4x²)+4x)√(1-4x²)
donc f'(x)=0 si x=1/(2√5)
alors f est croissante sur ]-1/2;1/(2√5))] et f est décroissante sur [1/(2√5);1/2[

3ème cas : si x>1/2
alors 4x²-1>0 donc f(x)=x+√(4x²-1)
donc f'(x)=1+(8x)/(2√(4x²-1))=1+4x/√(4x²-1)
soit f'(x)=(√(4x²-1)+4x)/√(4x²-1)
             =(√(4x²-1)+4x)(√(4x²-1)-4x)/((√(4x²-1)-4x)√(4x²-1))
             =(4x²-1-16x²)/((√(4x²-1)-4x)√(4x²-1))
             =(-1-12x²)/((√(4x²-1)-4x)√(4x²-1))
-1-12x²<0 et (√(4x²-1)-4x)<0 si x>1/2
ainsi f'(x)>0 si x>1/2
donc f est strict croissante sur ]1/2;+∞[