Bonjour j'ai cette exercice à faire pour lundi avec un copain de classe et on arrive pas à le résoudre.. C'est pour ça que j'ai pris l’initiative de venir vous

Bonjour SoufianBOUAZAMA

Les premiers termes de la suite sont :
u0 = 0
u1 = 1
u2 = 4/3
u3 = 3/2
u4 = 8/5
u5 = 5/3
u6 = 12/7
u7 = 7/4
u8 = 16/9
...

Nous constatons que si n est impair, alors [tex]u_n=\dfrac{n}{\dfrac{n+1}{2}}\Longrightarrow \boxed{u_n=\dfrac{2n}{n+1}}[/tex]

Si n est pair, alors [tex]\boxed{u_n=\dfrac{2n}{n+1}}[/tex]

Nous pouvons donc conjecturer que la suite est définie par u0 = 0 et [tex]u_n=\dfrac{2n}{n+1}[/tex] pour tout n naturel.

Démontrons cette conjecture par récurrence.

1) Initialisation : 

[tex]u_0=0[/tex]

[tex]u_0=\dfrac{2\times0}{0+1}=\dfrac{0}{1}=0[/tex]

L'initialisation est donc vraie pour n = 0

2) Hérédité : 

Supposons que la propriété est vraie à l'étape n et montrons qu'elle est encore vraie à l'étape (n+1)

Supposons que [tex]u_n=\dfrac{2n}{n+1}[/tex]
Montrons que  [tex]u_{n+1}=\dfrac{2(n+1)}{(n+1)+1}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}[/tex]

En effet,

[tex]u_{n+1}=\dfrac{4}{4-u_n}[/tex]

[tex]u_{n+1}=\dfrac{4}{4-\dfrac{2n}{n+1}}[/tex]

[tex]u_{n+1}=\dfrac{4}{\dfrac{4(n+1)-2n}{n+1}}[/tex]

[tex]u_{n+1}=\dfrac{4}{\dfrac{4n+4-2n}{n+1}}[/tex]

[tex]u_{n+1}=\dfrac{4}{\dfrac{2n+4}{n+1}}[/tex]

[tex]u_{n+1}=\dfrac{4(n+1)}{2n+4}[/tex]

[tex]u_{n+1}=\dfrac{4(n+1)}{2(n+2)}[/tex]

[tex]\boxed{u_{n+1}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}}[/tex]

L'hérédité est donc vérifiée.

Puisque l’initialisation et l'hérédité sont vraie,  la suite est définie par u0 = 0 et [tex]u_n=\dfrac{2n}{n+1}[/tex] pour tout n naturel.