bonjour j'ai besoin d'aide je comprends pas l'exercice merci de votre aide

Bonjour Slodu93

1) Soit O : "la porte est ouverte"            
            F : "la porte est fermée"

L'arbre pondéré est en pièce jointe.

Nous en déduisons les probabilités suivantes :

[tex]P(S_1)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}[/tex]

[tex]P(S_2)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}[/tex]

[tex]P(S_3)=\dfrac{1}{8}[/tex]

[tex]P(S_4)=\dfrac{1}{8}[/tex]

2) a) Loi de probabilité de X.

X peut prendre les valeurs
x1 =-7
x2 = 5 - 7 = -2
 x3 = 10 - 7 = 3 
x4 = 20 - 7 = 13.

Doù, le tableau de la loi de probabilité de X :

[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|} x_i&-7&-2&3&13 \\ P(X=x_i)&P(S_1)=\dfrac{1}{2}&P(S_2)=\dfrac{1}{4}&P(S_3)=\dfrac{1}{8}&P(S_4)=\dfrac{1}{8}\\ \end{array}[/tex]

b) Espérance mathématique E(X)

[tex]E(X)=\sum\limits_{k=1}^4x_kP(X=x_k)[/tex]

[tex]E(X)=(-7)\times\dfrac{1}{2}+(-2)\times\dfrac{1}{4}+3\times\dfrac{1}{8}+13\times\dfrac{1}{8}\\\\\boxed{E(X)=-2}[/tex]

L'espérance mathématique est négative.
Le jeu est défavorable au joueur car il peut "espérer gagner -2 €", soit "espérer perdre 2 €".

c) Modification de la mise.

Soit m la mise pour rendre le jeu équitable.

La nouvelle variable aléatoire Y peut prendre les valeurs :
X peut prendre les valeurs 
y1 =-m
y2 = 5 - m
y3 = 10 - m 
y4 = 20 - m

La nouvelle espérance de gain doit être nulle.

Donc

[tex]E(Y)=0[/tex]

[tex](-m)\times\dfrac{1}{2}+(5-m)\times\dfrac{1}{4}+(10-m)\times\dfrac{1}{8}+(20-m)\times\dfrac{1}{8}=0[/tex]

[tex]-\dfrac{m}{2}+\dfrac{5}{4}-\dfrac{m}{4}+\dfrac{10}{8}-\dfrac{m}{8}+\dfrac{20}{8}-\dfrac{m}{8}=0[/tex]

[tex]-\dfrac{4m}{8}+\dfrac{10}{8}-\dfrac{2m}{8}+\dfrac{10}{8}-\dfrac{m}{8}+\dfrac{20}{8}-\dfrac{m}{8}=0[/tex]

[tex]-\dfrac{8m}{8}+\dfrac{40}{8}=0\\\\-m+5=0[/tex]

[tex]\boxed{m=5}[/tex]

Par conséquent,
le jeu est équitable si la mise est de 5 €.