Bonjour J'ai un DM que je n'arrive pas à faire On considère la fonction f définie sur R+ par: f (x) = x^3 -x + 2 1. Vérifier que, si u € R+ et v € R+ f (u) - f

Bonjour Michel2015B


1. Vérifier que, si u € R+ et v € R+
f (u) - f (v) = (u-v) (u^2+v^2+ uv - 1)

[tex]f(u) - f(v) = (u^3 - u + 2) - (v^3 - v + 2)[/tex]

[tex]f(u) - f(v) = u^3 - u + 2 - v^3 + v - 2\\\\f(u) - f(v) = u^3 - v^3 - u + v\\\\[/tex]

[tex]f(u) - f(v) = (u^3 - v^3) - (u - v)\\\\f(u) - f(v) = (u - v)(u^2+uv+v^2) - (u - v)\\\\[/tex]

[tex]f(u) - f(v) = (u - v)[(u^2+uv+v^2) - 1]\\\\\boxed{f(u) - f(v) = (u - v)(u^2+uv+v^2 - 1)}[/tex]

2. En déduire que f est strictement décroissant sur [0, 1/ \/racine carrée de 3 [ et strictement croissant sur [1/racine carrée de 3; +>[

Décroissance de f :

Soit [tex]u,v\in[0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}[\ :u\ \textless \ v[/tex]

Alors  [tex]u,v\in[0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}[\ :u\ \textless \ v\Longrightarrow\boxed{u-v\ \textless \ 0}[/tex]

De plus,

[tex]u,v\in[0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}[\Longrightarrow u^2\in[0,\dfrac{1}{3}[\ et\ v^2\in[0,\dfrac{1}{3}[\ \ et\ uv\in[0,\dfrac{1}{3}[[/tex]

[tex]u,v\in[0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}[\Longrightarrow u^2+v^2+uv\in[0,1[[/tex]

[tex]u,v\in[0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}[\Longrightarrow u^2+v^2+uv-1\in[-1,0[[/tex]

D'où [tex]u,v\in[0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}[\Longrightarrow \boxed{u^2+v^2+uv-1\ \textless \ 0}[/tex]

On en déduit donc que [tex]u,v\in[0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}[\ :u\ \textless \ v\Longrightarrow \boxed{(u-v)(u^2+v^2+uv-1)\ \textgreater \ 0}[/tex]

soit  [tex]u,v\in[0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}[\ :u\ \textless \ v\Longrightarrow f(u)-f(v)\ \textgreater \ 0[/tex]

[tex]u,v\in[0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}[\ :\boxed{u\ \textless \ v\Longrightarrow f(u)\ \textgreater \ f(v)}[/tex]

Par conséquent, f est strictement décroissante sur l'intervalle [tex][0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}[[/tex]

Croissance de f :

Soit [tex]u,v\in]\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty[\ :u\ \textless \ v[/tex]

Alors  [tex]u,v\in]\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty[\ :u\ \textless \ v\Longrightarrow\boxed{u-v\ \textless \ 0}[/tex]

De plus,

[tex]u,v\in]\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty[\Longrightarrow u^2\in]\dfrac{1}{3};+\infty[\ et\ v^2\in]\dfrac{1}{3};+\infty[\ \ et\ uv\in]\dfrac{1}{3};+\infty[[/tex]

[tex]u,v\in]\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty[\Longrightarrow u^2+v^2+uv\in]1;+\infty[[/tex]

[tex]u,v\in]\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty[\Longrightarrow u^2+v^2+uv-1\in]0;+\infty[ [/tex]

D'où [tex]u,v\in]\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty[\Longrightarrow \boxed{u^2+v^2+uv-1\ \textgreater \ 0}[/tex]

On en déduit donc que [tex]u,v\in]\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty[\ :u\ \textless \ v\Longrightarrow \boxed{(u-v)(u^2+v^2+uv-1)\ \textless \ 0}[/tex]

soit  [tex]u,v\in]\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty[\ :u\ \textless \ v\Longrightarrow f(u)-f(v)\ \textless \ 0[/tex]

[tex]u,v\in]\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty[\ :\boxed{u\ \textless \ v\Longrightarrow f(u)\ \textless \ f(v)}[/tex]

Par conséquent, f est strictement croissante sur l'intervalle [tex]u,v\in]\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty[[/tex]