Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour étudier les variations de f et dresser son tableau de variation, en sachant que f(x)=x^4/4-2x^3/3-5x^2/2+6x merci d'expliquer l

Bonjour Sarinou

[tex]f(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{5x^2}{2}+6x [/tex] 

[tex]f'(x)=\dfrac{4x^3}{4}-\dfrac{6x^2}{3}-\dfrac{10x}{2}+6[/tex]

[tex]f'(x)=x^3-2x^2-5x+6[/tex]

[tex]f'(x)=(x-1)(x^2-x+6)[/tex]

Signe de f '(x).

Racines : 

x - 1 = 0 ==> x = 1
x² - x + 6 = 0
[tex]\Delta=(-1)^2-4\times1\times6=1+24=25\\x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2}=\dfrac{1-5}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\\x_2=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2}=\dfrac{1+5}{2}=\dfrac{6}{2}=3[/tex]

Tableau de signes de f '(x) et variations de f.

[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&-2&&1&&3&&+\infty \\ x-1&&-&-&-&0&+&+&+&\\x^2-x+6&&+&0&-&-&-&0&+&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\f(x)&&\searrow&-\dfrac{38}{3}&\nearrow&\dfrac{37}{12}&\searrow&-2,25&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
 

Par conséquent,

f est décroissante sur l'ensemble ]-oo ; -2] U [1 ; 3] 
f est croissante sur l'ensemble [-2 ; 1] U [3 ; +oo[