Svp aidez moi!!!! Soient x et y deux nombres réels strictement positifs. On pose : a=x+1/x , b=y+1/y , c= x/y +y/x 1\montrer que a^2+b^2+c^2 supérieur ou égale

Bonjour/Bonsoir,
1) on sait que x² +(1/x)² >0   (  la somme de deux carré )
donc  x² +(1/x)² +2 > 2
or x² + (1/x)² +2 = (x+  1/x)²
donc  (x+  1/x)² > 2
meme démonstration pur b²
pour c =x/y +y/x
on sait que  (x/y)²  + (y/x)² > 0
on ajoute  2 à chaque membre on obtient   c² > 2
2) on fait la differnce de a-2
a-2 = x  + (1/x) -2   on réduit au meme dénominateur on obtient
a-2 = (x² +1 -2x)/x = (x-1)² /x
numérateur et dénominateur positif donc a-2 >0
donc a>2
pour c: on fait la difference de c et 2 on obtient
c-2 = x/y  + y/x  -2 ; aprés réduction au meme denominateur on obtient
c-2 = (x² +y² -2xy)/xy = (x-y)²/xy
numerat et dénominat positifs donc c-2 >0
donc c>2
4) on a  a>2 et c>2 et on démontre de meme que b>2
donc on      a>2
                    b>2
                    c>2
on fait la somme membre a membre les 3 inegalités on obtient
                    a+b+c>2+2+2
           Soit  a+b+c >6
On fait le produit membre à membre les 3 inégalités ( tous les membres sont psitifs) on obtient a*b*c>2*2*2
                        soit abc>8.
5) on a     a>2   et   b>2   et     c>2
donc       a² >4  et   b² >4  et    c²>4
on fait la somme membre à membre on obtient: a² + b² + c² >4 + 4 + 4
donc a² + b² + c² > 12