Coucou à tous! ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 8 cm et AC = 6 cm Un point M est mobile sur le segment [BC]. On place les points R et S sur les segm
Mathématiques
coco61999san9daa
Question
Coucou à tous!
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 8 cm et AC = 6 cm
Un point M est mobile sur le segment [BC]. On place les points R et S sur
les segments [AB] et [AC] de telle sorte que le quadrilatère ASMR soit un
rectangle.
On aimerait savoir comment varie l'aire du rectangle selon la position du
point M et si elle admet un maximum et alors quel serait ce maximum?J'ai construit la figure et placer les points (M; S et R), je bloque pour
la suite, je pensais faire un repère orthonormé à partir de la figure.
Merci d'avance pour votre aide :)
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 8 cm et AC = 6 cm
Un point M est mobile sur le segment [BC]. On place les points R et S sur
les segments [AB] et [AC] de telle sorte que le quadrilatère ASMR soit un
rectangle.
On aimerait savoir comment varie l'aire du rectangle selon la position du
point M et si elle admet un maximum et alors quel serait ce maximum?J'ai construit la figure et placer les points (M; S et R), je bloque pour
la suite, je pensais faire un repère orthonormé à partir de la figure.
Merci d'avance pour votre aide :)
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Bonjour Coco61999san9daa
Soit AR = x
Alors RB = AB - AR ==> RB = 8 - x
Puisque les droites (CA) et (MR) sont parallèles, nous appliquons le théorème de Thalès dans le triangle ABC.
[tex]\dfrac{CA}{MR}=\dfrac{AB}{RB}[/tex]
[tex]\dfrac{6}{MR}=\dfrac{8}{8-x}\\\\8\times MR=6\times(8-x)[/tex]
[tex]MR=\dfrac{6}{8}(8-x)[/tex]
[tex]\boxed{MR=\dfrac{3}{4}(8-x)}[/tex]
Notons par f(x) l'aire du rectangle ASMR
[tex]f(x)=AR\times MR[/tex]
[tex]f(x)=x\times \dfrac{3}{4}(8-x)[/tex]
[tex]f(x)=\dfrac{3}{4}x(8-x)[/tex]
[tex]f(x)=6x-\dfrac{3}{4}x^2[/tex]
[tex]\boxed{f(x)=-0,75x^2+6x}[/tex]
Cette aire admet un maximum (car le coefficient de x² est négatif).
Ce maximum existe si [tex]x=[\dfrac{-b}{2a}]=\dfrac{-6}{2\times(-0,75)}=\dfrac{-6}{-1,5}=4[/tex]
Ce maximum est égal à [tex]f(4)=-0,75\times4^2+6\times4=-12+24=12[/tex]
Conclusion:
L'aire du rectangle ASMR sera maximale si AR = 4 cm.
L'aire maximale de ce rectangle sera égale à 12 cm²