Bonjour, C'est URGEN T il faut faire à chaque fois une démonstration Merci Beaucoup

bonsoir théo

1)
on sait que ABCD est un parallèlogramme (énoncé)
donc ses diagonales se coupent en leur milieu (théorème)

or [AC] et  [BD] sont les diagonales; elles se coupent en O
donc O milieu de [BD]

comme ABCD est un parallélogramme  on a
AB =DC et AD = BC
comme F est le symétrique de A par rapport à D
on a AD = DF
donc puisque AD =BC   ça revient à    DF = BC

or les droites (DF) et (AD) sont confondues   car D appartient à (AF)
comme  on sait d'après l'énoncé que  AD // BC   car  ABCD est parallélogramme
on a donc    (DF) // (BC)

théorème
si un quadrilatère a 2 côtés à la fois parallèles et égaux alors c'est un parallélogramme

donc on peut affirmer que    ABEC est un parallèlogramme
et par conséquent les côtés  AC et  BE  sont //
(d'après la propriété du parallélogramme)
mais comme (AC) et (OC) sont confondues ( car O appartient (AC) )

alors les droites (OC) et (BE) sont //

2)
AC= 4                   (2×OC = 2×2 = 4)
comme on a vu que ABEC est un parallélogramme à la question précédente
AC = BE 
donc BE = 4cm

3)
G appartient à la droite (DC)
donc (DG) et (DC) sont confondues
OR   DC // AB ( car  ABCD est un parallèlogramme)
donc (DG) // (AB)

FDBC est un parallélogramme
car FD =BC et FD // BC
( en effet AD =DF et AD =BC  donc DF =BC)
de plus (DF ) // (BC)   ( (AD) et (AF) sont confondues)

BF et DC sont ses diagonales
elles se coupent en G
propriété :
les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu
donc G est le milieu de [BF]

Bonjour Theo18

1) ABCD est un parallélogramme.
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Donc les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu O.

Par conséquent, O est le milieu de [BD]

E est le symétrique de D par rapport à C ==> C est le milieu de [DE]

On connait le théorème suivant : 

Premier théorème des milieux : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

Dans le triangle DBE (à représenter sur la figure), la droite (OC) passe par le milieu O de [DB] et le milieu C de [DE].

Selon le théorème, la droite (OC) est parallèle au troisième côté (BE)

Par conséquent, les droites (OC) et (BE) sont parallèles.

2) Calculer la longueur BE.

Deuxième théorème des milieux : Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Dans le triangle DBE, la longueur du segment [OC] est égale à la moitié du la longueur du côté [BE],

ce qui signifie que la longueur BE est le double de la longueur OC

Or OC = 2 cm

Donc BE = 2 x OC
          BE = 2 x 2 cm
          BE = 4 cm

3) Puisque ABCD est un parallélogramme, la droite (DC) est parallèle à la droite (AB).
Or les droites (DG) et (DC) sont confondues car G est sur (DC)
Donc la droite (DG) et parallèle à la droite (AB).

F est le symétrique de A par rapport à D ==> D est le milieu de [AF]

Troisième théorème des milieux : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième en son milieu.

Dans le triangle FAB, la droite (DG) passe par le milieu D du côté [AF] et est parallèle à la droite (AB).
Selon le théorème, la droite (DG) coupe le troisième côté [BF] en son milieu.

Par conséquent, G est le milieu de [BF]