avec des égalités vectorielles: .tracer un parallélogramme ABCD .placer les points F et G .démontrer que DF=AB+2AD .démontrer que DG=-½AB-AD .conclure

Bonjour  MDRdeLOL

Figure en pièce jointe.

On sait que ABCD est un parallélogramme.
Donc : [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\ et\ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}[/tex]

Par construction, nous savons que  [tex]\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{BC}\ et\ \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}[/tex]

.démontrer que DF=AB+2AD

[tex]\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}[/tex]

[tex]\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CF}[/tex]

[tex]\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}[/tex]

[tex]\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}+3\overrightarrow{BC}[/tex]

[tex]\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{BC}[/tex]

[tex]\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}[/tex]

[tex]\boxed{\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}}[/tex]


.démontrer que DG=-½AB-AD

[tex]\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AG}[/tex]

[tex]\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}[/tex]

[tex]\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex]

[tex]\boxed{\overrightarrow{DG}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}}[/tex]

.conclure

[tex]\overrightarrow{DG}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\Longrightarrow -2\overrightarrow{DG}=-2(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})[/tex]

[tex]-2\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}[/tex]

[tex]-2\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DF}[/tex]

D'où, les vecteurs  [tex]\overrightarrow{DF} [/tex]  et  [tex]\overrightarrow{DG}[/tex]  sont colinéaires.

Par conséquent,
les points G, D et F sont alignés