Voila la question quil manquer d) etudier la position de la courbe par rapport a son asymptoted horizontal ?

Bonjour Framboisa

[tex]f(x) = 5 + \dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6} [/tex]

L'équation de l'asymptote horizontale est : y = 5

Nous connaîtrons la position relative de la courbe C par rapport à l'asymptote horizontale en étudiant le signe de f(x) - 5.

[tex]f(x) = 5 + \dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6}\Longrightarrow f(x)- 5 =\dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6}[/tex]

Etudions donc le signe de [tex]\dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6}[/tex]

[tex]\dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6}=\dfrac{2(2x-6)}{(1-x)(2x-6)}+\dfrac{1-x}{(1-x)(2x-6)}[/tex]

[tex]\dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6}=\dfrac{2(2x-6)+(1-x)}{(1-x)(2x-6)}[/tex]

[tex]\dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6}=\dfrac{4x-12+1-x}{(1-x)(2x-6)}[/tex]

[tex]\dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6}=\dfrac{3x-11}{(1-x)(2x-6)}[/tex]

Etudions donc le signe de [tex]\dfrac{3x-11}{(1-x)(2x-6)}[/tex]

Racines : Numérateur : 3x-11=0 ==> x=11/3
                Dénominateur : 1-x=0 ==> x = 1
                                          2x-6=0 ==> x = 3

[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&1&&3&&\frac{11}{3}&&+\infty \\ 3x-11&&-&-&-&-&-&0&+&\\1-x&&+&0&-&-&-&-&-&\\2x-6&&-&-&-&0&+&+&+&\\Quotient&&+&|&-&|&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]

D'où
f(x) - 5 > 0 si x < 1 ou si -3 < x < 11/3
f(x) - 5 < 0 si 1 < x < 3 ou si x > 11/3

Par conséquent,

La courbe C est au-dessus de l’asymptote horizontale si x < 1 ou si -3 < x < 11/3
La courbe C est en-dessous de l’asymptote horizontale si 1 < x < 3 ou si x > 11/3.