--- 19 POINTS --- Bonjour à tous, je n'arrive pas à faire cet exercice, merci de bien vouloir m'aider en détaillant vos calculs svp. Merci d'avance.

Bonsoir,

a) Le dénominateur ne doit pas être nul. Tu calcules le discriminant de :
x²+2x+2
Δ=b²-4ac=..-...=-4 qui est négatif.
Donc x²+2x+2 n'a pas de racine et ne s'annule jamais.
Donc Df=IR.

De  plus le coeff de x² étant > 0 , alors : x²+2x+2 est toujours >0.
b)On va montrer que :

f(x) < 4 soit f(x)-4 < 0.

f(x)-4=(2x²-2)/(x²+2x+2) - 4

On réduit au même déno :
f(x)-4=[(2x²-2)-4(x²+2x+2)]/(x²+2x+2)--->Tu développes le numé, tu mets 2 en facteur  et à la fin :

f(x)-4 = 2(-x²+x-2)/(x²+2x+2)

Tu cherches les racines de : -x²+x-2. Il n'y en a pas car Δ < 0.
Donc : -x²+x-2 < 0 car le coeff de x² est < 0. Donc 2(-x²+x-2) > 0.
Le déno : x²+2x+2 est > 0 ( Voir a)).

Donc f(x)-4 < 0. Donc f(x) < 4.

Puis on va montrer que : -2 < f(x) soit : f(x)+2 > 0.

f(x) + 2=(2x²-2)/(x²+2x+2) + 2 =[(2x²-2)+ 2(x²+2x+2)] / (x²+2x+2)

Tu développes le numé , tu mets 2 en facteur et à la fin :

f(x) + 2=2(x²+2x+1)/(x²+2x+2)=2(x+1)²/(x²+2x+2)

Le numérateur qui est le produit de 2 et d' un carré est positif et on sait que le déno est positif. Donc :

f(x) +2 > 0 donc f(x) > -2.

On a donc montré que : -2 < f(x) < 4.

d) Tu calcules en remplaçant x par la valeur donnée et tu vas trouver le minimum donné. Moi, je ne le ferai pas.