Bonjour, En travaillant des exercices afin de préparer pour un examen . Je tombe sur cette fonction :f(x)=∛x/(∛x+∛(1-x)) Sachant que f est bijective de [0,1] ve

[tex]f(x)\ \textgreater \ x[/tex]

[tex] \frac{ \sqrt[3]{x} }{ \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{1-x} } \ \textgreater \ x[/tex]

[tex] \sqrt[3]{x} \ \textgreater \ x( \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{1-x} )[/tex] car x∈[0;1] et f(x)∈[0;1]

[tex]x^{1/3}\ \textgreater \ x(x^{1/3}+(1-x)^{1/3})[/tex]

[tex]x^{1/3}-x(x^{1/3}+(1-x)^{1/3})\ \textgreater \ 0[/tex]

[tex]x^{1/3}-x \times x^{1/3}+x(1-x)^{1/3}\ \textgreater \ 0[/tex]

[tex]x^{1/3}(1-x) -x(1-x)^{1/3}\ \textgreater \ 0[/tex]

[tex]x^{1/3}(1-x)^{1/3}(1-x)^{2/3} -x^{1/3}x^{2/3}(1-x)^{1/3}\ \textgreater \ 0[/tex]

[tex]x^{1/3}(1-x)^{1/3}((1-x)^{2/3} -x^{2/3})\ \textgreater \ 0 [/tex]

or si x∈[0;1] alors [tex]x^{1/3}(1-x)^{1/3}\ \textgreater \ 0 [/tex]

donc l'inéquation équivaut à [tex](1-x)^{2/3} -x^{2/3}\ \textgreater \ 0 [/tex]

[tex](1-x)^{2/3} \ \textgreater \ x^{2/3}[/tex]

[tex]1-x\ \textgreater \ x[/tex]

[tex]1\ \textgreater \ 2x[/tex]

[tex]x\ \textless \ \frac{1}{2} [/tex]

donc [tex]x \in ]0; \frac{1}{2}[ [/tex]