Soit f la fonction definie sur [0;1] par f(x)=(exp(x)-1)/(exp(x)-x). On admet que exp(x)-x>0 sur [0;+ l'infini[ Monter que la fonction f est croissante sur [0;1

Bonjour Eden192

[tex]f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x-x}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{(e^x-1)'(e^x-x)-(e^x-x)'(e^x-1)}{(e^x-x)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{e^x(e^x-x)-(e^x-1)(e^x-1)}{(e^x-x)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{e^x(e^x-x)-(e^x-1)^2}{(e^x-x)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{(e^x)^2-xe^x-(e^x)^2+2e^x-1}{(e^x-x)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{-xe^x+2e^x-1}{(e^x-x)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{-(x-2)e^x-1}{(e^x-x)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{-[(x-2)e^x+1]}{(e^x-x)^2}[/tex]

Le signe de la dérivée est le même que celui du numérateur puisque le dénominateur est strictement positif.

Quel est le signe de [tex]-[(x-2)e^x+1][/tex] si [tex]x\in[0\ ;\ 1]\ ?[/tex]

[tex]0\le x\le 1\Longrightarrow -2\le x-2\le-1\Longrightarrow \boxed{x-2\le-1}\\\\\boxed{e^x\ \textgreater \ 0}[/tex]

D'où

[tex](x-2)\times e^x\le(-1)\times e^x[/tex]

[tex](x-2)e^x\le-e^x[/tex]

Or [tex]x\ge0\Longrightarrow e^x\ge 1\Longrightarrow \boxed{-e^x\le -1}[/tex]

Donc :

[tex](x-2)e^x\le-e^x\le-1\Longrightarrow (x-2)e^x\le-1\\\\\Longrightarrow (x-2)e^x+1\le0[/tex]

[tex]\\\\\Longrightarrow \boxed{-[(x-2)e^x+1]\ge0}[/tex]

D'où, 

[tex]f'(x)\ge0\ sur\ [0\ ;\ 1][/tex]

Par conséquent, 

f est croissante sur [0 ; 1]