Soit a et n appartenants à N-[1] 1/ Montrer que [(a puissance n)-1] primaire implique a=2 2/ Montrer que [(a puissance n) -1] primaire implique n primaire

Soit a et n appartenants à IN\[1]

1/ Montrer que a^n-1 premier implique a=2

2/ Montrer que a^n-1 premier implique n premier

1) a^n-1=a^n-1^n

               =(a-1)(a^(n-1)+a^(n-2)+ ... +1)

si a^n-1 est premier alors a-1=1 ou a^(n-1)+a^(n-2)+ ... +1=1

soit a=2 ou a^(n-1)+a^(n-2)+ ... +a^(1)=0

la 2ème égalité est impossible (car a non nul) donc on déduit que :

a^n-1 premier implique a=2

2) Raisonnons par contraposée :

si n non premier alors il existe p et q entier différents de 1 tels que n=p*q

donc a^n-1=a^(p*q)-1

                    =(a^p)^q-1^q

                    =(a^p-1)((a^p)^(q-1)+(a^p)^(q-2)+ ... +1)

donc a^n-1 n'est pas premier car a^n-1=P*Q avec P et Q entiers différents de 1

donc a^n-1 premier implique n premier