Bonjour a tous ,pourriez vous m'aider à répondre à ces question s'il vous plait ,merci à ceux qui me repondront ,passer une bonne journee

Bonjour Missmama93600

[tex]u_n=2^n-40n-20[/tex]

1) a) Croissance de la suite (un)

[tex]u_{n+1}-u_n=[2^{n+1}-40(n+1)-20]-(2^n-40n-20)[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2^{n+1}-40n-40-20-2^n+40n+20[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2^{n+1}-2^n-40[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2\times2^{n}-2^n-40[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2^n-40[/tex]

La suite (un) sera croissante si [tex]u_{n+1}-u_n\ge0[/tex]
soit si [tex]2^n-40\ge0[/tex]
soit si [tex]2^n\ge40[/tex]
En donnant des valeurs successives à n, nous déduisons que [tex]\boxed{n\ge6}[/tex] car [tex]2^5=32\ \textless \ 40\ \ et\ \ 2^6=64\ \textgreater \ 40[/tex]

Par conséquent, la suite (un) est croissante à partir du rang 6.

[tex]b)\ u_8=2^8-40\times8-20\\u_8=-84\ \textless \ 0\\u_9=2^9-40\times9-20\\u_9=132\ \textgreater \ 0[/tex]

Puisque [tex]u_9\ \textgreater \ 0[/tex] et que la suite (un) est croissante à partir du rang 6, nous en déduisons que [tex]\boxed{u_n\ \textgreater \ 0\ \ si\ \ n\ge9}[/tex]

2) [tex]v_n=2^n-20n^2[/tex]

a) [tex]v_{n+1}-v_n=[2^{n+1}-20(n+1)^2]-[2^{n}-20n^2][/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=[2^{n+1}-20(n^2+2n+1)]-[2^{n}-20n^2][/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2^{n+1}-20n^2-40n-20-2^{n}+20n^2[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2^{n+1}-40n-20-2^{n}[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2\times2^{n}-40n-20-2^{n}[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=(2\times2^{n}-2^n)-40n-20[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2^n-40n-20[/tex]

[tex]\boxed{v_{n+1}-v_n=u_n}[/tex]

b) Nous savons que [tex]u_n\ \textgreater \ 0\ \ si\ \ n\ge9[/tex], 
soit que [tex]v_{n+1}-v_n\ \textgreater \ 0\ \ si\ \ n\ge9[/tex]

Par conséquent, la suite (vn) sera croissante à partir du rang 9.

c) En donnant des valeurs successives à n, nous obtenons : 
[tex]v_11=2^{11}-20\times11^2=-372\ \textless \ 0\\v_12=2^{12}-20\times12^2=1216\ \textgreater \ 0[/tex]

Puisque la suite (vn) est croissante à partir du rang 9, nous en déduisons que [tex]v_n\ge0[/tex] à partir du rang 12.