Bonjour ! J'ai un DM de maths à faire sur la trigonométrie, la prof nous à dit que c'est facile et que ça ne prend pas plus de 20 min maxi ! Merci de m'aider ca

Bonjour Nihad13

Première partie :

Le triangle ABC est équilatéral ==> la mesure de chaque angle est égale à [tex]\dfrac{\pi}{3}[/tex].

Dans le triangle équilatéral ABC, la hauteur [CH] est également la médiane issue de C et la bissectrice de l'angle ACB.
D'où :
[tex]AH=\dfrac{a}{2}\ \ et\ \ \widehat{ACH}=\dfrac{\pi}{6}[/tex]

Par Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H, 
[tex]AH^2+CH^2=AC^2\\\\(\dfrac{a}{2})^2+CH^2=a^2[/tex]

[tex]CH^2=a^2-\dfrac{a^2}{4}[/tex]

[tex]CH^2=\dfrac{4a^2}{4}-\dfrac{a^2}{4}[/tex]

[tex]CH^2=\dfrac{3a^2}{4}[/tex]

[tex]CH=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}[/tex]

[tex]\boxed{CH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}[/tex]

Dans le triangle AHC rectangle en H, 

[tex]\cos(\widehat{ACH})=\dfrac{CH}{CA}[/tex]

[tex]\cos(\widehat{ACH})=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a}[/tex]

[tex]\cos(\widehat{ACH})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

D'où  [tex]\boxed{\cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}[/tex]

[tex]\sin(\widehat{ACH})=\dfrac{AH}{CA}[/tex]

[tex]\sin(\widehat{ACH})=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{a}[/tex]

[tex]\sin(\widehat{ACH})=\dfrac{1}{2}[/tex]

D'où  [tex]\boxed{\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}}[/tex]

[tex]\cos(\widehat{HAC})=\dfrac{AH}{CA}[/tex]

[tex]\cos(\widehat{HAC})=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{a}[/tex]

[tex]\cos(\widehat{HAC})=\dfrac{1}{2}[/tex]

D'où  [tex]\boxed{\cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}}[/tex]

[tex]\sin(\widehat{HAC})=\dfrac{CH}{CA}[/tex]

[tex]\sin(\widehat{HAC})=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a}[/tex]

[tex]\sin(\widehat{HAC})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

D'où  [tex]\boxed{\sin(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}[/tex]

Seconde partie : 

Par Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A,

[tex]BC^2=AB^2+AC^2\\\\BC^2=a^2+a^2[/tex]

[tex]BC^2=2a^2\\\\\boxed{BC=a\sqrt{2}}[/tex]

Comme on sait que la somme des mesures des trois angles d'un triangle est égale à [tex]\pi[/tex], nous avons :

[tex]\widehat{ABC}+\widehat{BCA}+\widehat{CAB}=\pi\\\\\widehat{ABC}+\widehat{BCA}+\dfrac{\pi}{2}=\pi[/tex]

[tex]\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=\pi-\dfrac{\pi}{2}\\\\\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=\dfrac{\pi}{2}[/tex]

Or [tex]\widehat{ABC}=\widehat{BCA}[/tex]

Donc [tex]\widehat{ABC}+\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{2}[/tex]

[tex]2\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{2}[/tex]

[tex]\boxed{\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{4}}[/tex]

Dans ce triangle ABC rectangle en A,

[tex]\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{BA}{BC}[/tex]

[tex]\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{a}{a\sqrt{2}}[/tex]

[tex]\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{1}{\sqrt{2}}[/tex]

[tex]\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}[/tex]

[tex]\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

Par conséquent,
[tex]\boxed{\cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}[/tex]

[tex]\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{BC}[/tex]

Or AC = BA

Donc [tex]\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{BA}{BC}[/tex]

[tex]\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

Par conséquent,
[tex]\boxed{\sin(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}[/tex]