Bonsoir, je dois démontrer par récurrence cette inégalité de Bernoulli je n'y arrive pas, pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance

Bonjour SoufianBOUAZAMA

Démonstration par récurrence.

1) Initialisation : 

Montrons que la propriété est vraie pour n=0

[tex](1+a)^0=1\\1+0\times a=1[/tex]

Nous avons donc bien [tex](1+a)^0\ge1+0\times a\ \ car\ 1\ge1[/tex]

2) Hérédité :

Supposons la propriété vraie à l'étape n et montrons qu'elle est encore vraie à l'étape (n+1), quel que soit n.

Supposons que [tex](1+a)^n\ge1+na[/tex]
Montrons que [tex](1+a)^{n+1}\ge1+(n+1)a[/tex]

En effet,

[tex](1+a)^{n+1}=(1+a)^n(1+a)\ge(1+na)(1+a)[/tex]

soit 

[tex](1+a)^{n+1}\ge(1+na)(1+a)[/tex]

[tex](1+a)^{n+1}\ge1+a+na+na^2[/tex]

[tex](1+a)^{n+1}\ge1+(1+n)a+na^2\\\\(1+a)^{n+1}\ge1+(1+n)a\ \ car\ \ na^2\ge0[/tex]

D'où  [tex]\boxed{(1+a)^{n+1}\ge1+(n+1)a}[/tex]

L’initialisation et l'hérédité étant vraies, la propriété  [tex](1+a)^n\ge1+na[/tex]  est vraie pour tout entier naturel.