Bonsoir, DM de maths niveau 2nd , Cf pièces jointes Merci.

Bonjour Supersong

1) Le point H parcourt le segment [AI].
Lorsque le point H est en I, nous avons HI = 0 ==> x = 0
Lorsque H est en A, nous avons HI = AI = 4 ==> x = 4
Lorsque H est entre A et I, nous avons : 0 < x < 4.

Par conséquent,  [tex]\boxed{x\in[0\ ;\ 4]}[/tex]

2) Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Par Thalès dans le triangle ABC, 

[tex]\dfrac{BC}{MN}=\dfrac{AI}{AH} [/tex]

Or BC = 4 ; AI = 4 ; AH = AI - HI = 4-x

D'où   [tex]\dfrac{4}{MN}=\dfrac{4}{4-x}[/tex]

Produit en croix.

[tex] 4\times MN=4\times(4-x) [/tex]

[tex]\boxed{MN=4-x}[/tex]

[tex]Aire_{triangle\ MIN}=\dfrac{MN\times HI}{2}[/tex]

[tex]f(x)=\dfrac{(4-x)\times x}{2}[/tex]

[tex]\boxed{f(x)=\dfrac{x(4-x)}{2}}[/tex]

3) a) [tex]f(x)=0[/tex]

[tex]\dfrac{x(4-x)}{2}}=0[/tex]

[tex]x(4-x)=0[/tex]

[tex]x=0\ \ ou\ \ 4-x=0\\\\\boxed{x=0\ \ ou\ \ x=4}\\\\[/tex]

Interprétation géométrique.

L'aire du triangle MIN sera nulle si x = 0 ou si x = 4

ou encore
l'aire du triangle MIN sera nulle si H est en I ou si H est en A

ou encore
l'aire du triangle MIN sera nulle si M est en B et N est en A ou si M et N sont en A.

b) Les points (0 ; 0) et (4 ; 0) appartiennent à la parabole.
L'abscisse du sommet de la parabole est la moyenne de 0 et de 4, soit [tex]\dfrac{0+4}{2}=2[/tex]

Nous savons également que [tex]f(2)=\dfrac{2\times(4-2)}{2}=\dfrac{2\times2}{2}=2[/tex]

D'où le tableau de variations de f : 

[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&2&&4 \\ f(x)=\dfrac{x(4-x)}{2}&0&\nearrow&2&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]

4) L'aire du triangle MIN sera maximale si x = 2.

Or si x = 2, soit HI = 2, alors le point H sera le point milieu du segment [AI].

Par conséquent,

L'aire du triangle MIN sera maximale si M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC].