m'aider svp moi ? Soient a;b,x,y des réel t.q: ax+by=1 1) montrez que: a^{2} + b^{2} \neq 0 2) montrez que : a²+b²≥ \frac{1}{ x^{2} + y^{2} }

Bonjour Boujir,

Soient a;b,x,y des réel t.q: ax+by=1
1) montrez que: [tex]a^{2} + b^{2} \neq 0[/tex]

Supposons que [tex]a^{2} + b^{2}=0[/tex], alors  [tex]a^{2} =- b^{2[/tex]

Cette dernière égalité n'est vraie que si a=0 et b=0.

Dans ce cas, ax + by serait égal à 0, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse : ax+by = 1

D'où, notre supposition est fausse.

Par conséquent, [tex]\boxed{a^{2} + b^{2} \neq 0}[/tex]

2) montrez que : [tex]a^2+b^2\ge\dfrac{1}{ x^{2} + y^{2} }[/tex]

Calculons d'abord, [tex](a^2+b^2)(x^2+y^2)[/tex]

[tex](a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\\\\(a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2[/tex]

[tex]\\\\(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)+(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)\\\\(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2[/tex]

[tex]\\\\(a^2+b^2)(x^2+y^2)=1^2+(ay-bx)^2\\\\(a^2+b^2)(x^2+y^2)=1+(ay-bx)^2\ge1[/tex]

[tex](a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge1[/tex]

Or  [tex]x^2+y^2\ \textgreater \ 0[/tex]

Donc,

[tex](a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge1\Longrightarrow \boxed{a^2+b^2\ge\dfrac{1}{x^2+y^2}}[/tex]